01 Vectores

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01 Vectores
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  UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICOFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASGEOMETRÍA ANALÍTICA.DIMENSIÓN : CONOCIMIENTO MATEMÁTICO. NÚCLEO TÉMATICO : GEOMETRÍA ANALÍTICA. MÓDULO : 1. TEMA : VECTORES.1.Sistema coordenado unidimensiona. O! " ! 1 1# 1$% " % 1 En e di&u'o se (i') un *unto +identi(icado con a etra O , se e asi-n) e cero , se esco-i) un *atr)n de medida /ue se re*ic) consecuti0amente acia a dereca , acia a i2/uierda. Se dice /ue emos esta&ecido un sistema de coordenadas en una direcci)n +en este caso ori2onta. La coordenada de O es cero , escri&imos O+$. ! 1  , ! "  est3n a % 1  , % "  unidades de cero. E *unto ! 1  tiene *or coordenada a % 1  , escri&imos ! 1 +% 1 . La distancia entre ! 1  , ! "  es:O! 1  4 ! 1 ! "  5 O! " % 1  4 ! 1 ! "  5 % " ! 1 ! "  5 % "  6 % 1 En -enera ! 1 ! "  5 7 % "  6 % 1 7".Sistema coordenado &idimensiona.Se esco-en dos sistemas unidimensionaes /ue se interse/uen *er*endicuarmente en cero: E'e , u ordenadas!+%8 ,.,%E'e % o de a&scisas+48 4.+48 #.+#8 #.+#8 4.Coordenadas rectan-uares ACTIVI9A9ES.a.aar a distancia en una dimensi)n8 entre cada *ar de *untos cu,as coordenadas se indican:i.A+6 ; , <+=ii.C+> , 9+6 ?iii.E+6 @ , +6 1" &.La distancia entre dos *untos es B. Si uno de eos es A+6 "8 aar a coordenada de otro *unto.c.Con /uD ecuaci)n *uede re*resentarse e e'e % E e'e ,d.Cu3 es a ecuaci)n de a recta /ue *asa *or +18 6 1 , +18 6 "e. Cu3 es a ecuaci)n de a recta /ue *asa *or +"8 > , +6 "8 >(. FuD cur0a +s tienen *or ecuaci)n a % "  6 B 5 $-.n cuadrado de ado i-ua a " a 8 tiene su centro en e ori-en de un sistema de coordenadas cartesianas , sus ados son *araeos a os e'es coordenados. aar as coordenadas de os cuatro 0Drtices..Tres 0Drtices de un rect3n-uo son A+"8 6 18 <+?8 6 1 , C+?8 >. aar e cuarto 0Drtice , e  *erHmetro de rect3n-uo.  Vectores.i.Tres 0Drtices de un *araeo-ramo son A+18 6 >8 <+6 "8 > , C+=8 >. aa as coordenadas de cuarto 0Drtice. '.Los 0Drtices de un tri3n-uo rect3n-uo son A+18 6 "8 <+8 6 " , C+8 ". aa a on-itud de os catetos , de a i*otenusa. Cu3nto miden os 3n-uos A , CJ.Los 0Drtices de un tri3n-uo son A+6 "86 "8 <+8 6 " , C+18 . aa e 0aor de 3n-uo C.>.Vectores. a. &.c.d. n 0ector es todo se-mento diri-ido u orientado. E de di&u'o:aest3 orientado acia e Noroeste. &est3 diri-ido acia e sur.cdesta orientado acia e oeste.eest3 diri-ido acia e sureste.CaracterHsticas de un 0ector. α a.Ma-nitud o Norma. Es e tamaKo de 0ector. E de a (i-ura es ; u. &.Sentido. Est3 determinado *or a (ecita di&u'ada en uno de os e%tremos de se-mento.c.9irecci)n. La indica e 3n-uo /ue (orma e se-mento con res*ecto a una recta +-eneramente ori2onta. En e di&u'o8 e 3n-uo α .Re*resentaci)n de 0ectores.a.Con minscuas8 cooc3ndoes encima una (ecita:  →→→  xba 88 8 /ue se een e 0ector a 8 e 0ector b  , e 0ector  x . &.Con dos ma,scuas /ue indican e ori-en , e e%tremo (ina8 cooc3ndoes encima una (ecita: CA9<  E de a i2/uierda es →−−  AB  , e de a dereca es →−− CD c.Con una ma,scua o una minscua en ne-rita: A 8  x  La norma de un 0ector se indica con 77 → a  77.ACTIVI9A9ES.tii2a una escaa adecuada *ara re*resentar con 0ectores as si-uientes situaciones:i.n a0i)n 0ia'a a ;$ Jm   acia e norte.ii.n &arco se diri-e acia e noreste8 a =$ Jm  iii.n &u/ue na0e-a a 1@ Jm   acia e sureste , e 0iento so*a a 1; Jm   acia e este.I-uadad de 0ectores. "  Vectores.9os 0ectores son i-uaes cuando tienen a misma ma-nitud8 direcci)n , sentido. α   → a α   → b Vectores *araeos.9os 0ectores son *araeos cuando tienen a misma direcci)n. α   → a   → b  α   → a   → b N N → a 77 → b  ↔   α  5 Án-uo entre 0ectores.Si α  es e 3n-uo (ormado *or os 0ectores →→ ba , +o a *roon-aci)n de os se-mentos /ue os contienen , α   ∈  $8 1@$P Q8 entonces α  se denomina 3n-uo entre os dos 0ectores.Vector direcciona.En e estudio de os 0ectores cuando se *rescinde de su ma-nitud8 e 0ector es amado direcciona.Muti*icaci)n de un escaar *or un 0ector.Si → a  es un 0ector , n   ∈  R8 n   $8 e *roducto n   → a  se denomina muti*icaci)n de escaar *or e 0ector. E sentido de nue0o 0ector ser3 e mismo de → a  cuando n ∈  R4 cuando n ∈  R 6 e sentido ser3 contrario a de → a .E tamaKo o norma: 77 n   → a 77 5 7 n  7 77 → a 77. Es decir8 es un 0ector 7 n  7 0eces e tamaKo de → a >  Vectores.  → b 5 >   → a  6 → a 5 6 1   → a  NOTA: → a 77 → b  ↔   → a 5 n   → b 8 n ∈  R 8 n  $.Adici)n de 0ectores.Sumar os 0ectores de a (i-ura: ab Se em*ea un mDtodo denominado de *araeo-ramo e cua consiste en u&icar os 0ectores de modo /ue coincidan sus orH-enes. !or os e%tremos de cada 0ector tra2ar8 *araeas a otro de modo /ue se (orma un *araeo-ramo. La dia-ona de Dste ser3 a suma de os 0ectores en cuesti)n. ab  c a b   = + I-uamente se *uede em*ear un *rocedimiento denominado de *oH-ono e cua consiste en u&icar uno de os 0ectores con todas sus caracterHsticas , a continuaci)n *or su e%tremo (ina se u&ica e otro 0ector con sus caracterHsticas. E 0ector suma ser3 e /ue cierra e *oH-ono: e 0ector /ue comien2a en e ori-en de *rimero , termina en e (ina de se-undo. ab  c a b   = + Este *roceso *uede em*earse *ara m3s de dos 0ectores.Resta de 0ectores.9ados os 0ectores de a (i-ura8 aemos → b  6 → a ab acemos coincidir os 0ectores *or su ori-en , aamos e o*uesto de 0ector a . Se-uidamente sumamos e 0ector b  con e o*uesto de a . !uede o&ser0arse /ue e 0ector resta es un 0ector diri-ido desde e ori-en de sustraendo acia e e%tremo (ina de minuendo:   Vectores. ab- a a    +     (     -   b      )       ab- a a    +     (     -   b      )    a    -   b     Com&inaci)n inea.Consideremos os 0ectores de a (i-ura , aemos "   → a 4 >   → b  : ab   " a > b  c   =  2 a  +  3  b E 0ector → c  se ama una com&inaci)n inea de → a , de → b En -enera dados → a  , → b  n , m  escaares8 a e%*resi)n n   → a 4 m   → b se denomina una com&inaci)n inea de → a , de → b .Teorema &ase.n 0ector → c de un *ano *uede e%*resarse *or una com&inaci)n inea nica de dos 0ectores no  *araeos ni nuos8 → a  , → b : → c 5 n   → a 4 m   → b 9emostraci)n:Consideremos a si-uiente (i-ura: n   a m   bba    c 1 → c 5 →−− OR  4 →−−  RP   Suma de 0ectores." →−−  RP   5 n   → a  Vectores *araeos> →−− OR 5 m   → b  Vectores *araeos → c 5 n   → a 4 m   → b  Sustitu,endo " , > en 1 ;
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