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CARTAS DE CONTROL PARA DATOS FUNCIONALES TESIS que para obtener el grado de Maestro en Ciencias con Especialidad en Probabilidad y Estadística p r e s e n t a…
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CARTAS DE CONTROL PARA DATOS FUNCIONALES TESIS que para obtener el grado de Maestro en Ciencias con Especialidad en Probabilidad y Estadística p r e s e n t a Diego Rivera García Dr. Enrique Raúl Villa Diharce Director de Tesis Dr. Joaquín Ortega Sánchez Codirector de Tesis Guanajuato, Gto. Agosto de 2011 Índice general Índice General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Índice de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Índice de Cuadros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 1 Cartas de control 1 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Cartas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Riesgos del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Tipos de cartas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Carta de medidas individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Longitud promedio de Corrida (ARL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Análisis de datos funcionales 12 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Datos funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Splines suavizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3 Estimación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.4 Estimación de parámetros penalizados . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Exploración de la variabilidad en datos funcionales . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Estadísticas descriptivas funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 Análisis de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Bootstrap suavizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1 Elección de la matriz ventana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 i 2.6 Conjuntos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Cartas de control para datos funcionales 29 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Propuestas realizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Cartas de control para datos funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Conclusiones 41 Bibliografía 43 ii Índice de figuras 1.2.1 Elementos de una carta de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Control estadístico: a)Proceso fuera de control, b) Proceso bajo control . 4 1.4.1 Carta de control para medidas individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Carta de control para rangos móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1 Longitud de corrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Tipos de análisis: a) Estadística clásica, b) Estadística para datos fun- cionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Estudio de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Ajuste de base de splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1 Estadísticas descriptivas: a) Media funcional, b) Desviación estándar fun- cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.2 Análisis de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1 Influencia del parámetro h: a) h=0.9, b) h=1.519 (óptimo), c) h=3 . . . 27 3.2.1 Datos de motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Ajuste del modelo de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.1 Ajuste de B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.2 Estadísticas descriptivas: a) Media funcional, b) Desviación estándar fun- cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4.3 Simulaciones bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4.4 Conjunto de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.5 Longitud de corrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.6 Distribución de la corrida mas larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.7 Carta tipo Shewhart funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 iii Índice de cuadros 3.4.1 Coeficientes B-spline estimados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.2 Relación Confianza-ARL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.3 Amplitud del conjunto de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 iv Agradecimientos Un agradecimiento muy especial a CONACYT por el apoyo recibido para poder cursar esta maestría. De igual forma quisiera agradecer a CIMAT AC, y a los profesores que me acompañaron y orientaron durante esta travesia. A mi familia, gracias por su apoyo incondicional, si él no hubiera podido estar donde estoy ahora. Mil gracias por todo, jamás podré pagar todo lo que han hecho por mi. También quiero agradecer al Dr. Enrique Villa Diharce y al Dr. Joaquín Ortega Sánchez por brindarme el apoyo para la realización de este trabajo. Al Dr. Miguel Nakamura Savoy gracias por sus valiosos consejos y enseñanzas. A mis amigos, en especial a Joel Iglesias, Mario Santana, Gustavo Cano, Harol Moreno, Abelardo Motesinos, Norma Selomit Ramírez, Lina Vargas gracias por su apoyo y amistad. Un agradecimiento muy especial a Leticia Escobar por ser uno de los motores que me impulsaron a crecer como estudiante y sobre todo como persona. A Dios por darme paciencia y fuerza para la realización de este trabajo. v Prefacio La creciente competitividad de los mercados ha conducido al mundo empresarial a buscar nuevas y mejores formas de ofrecer productos de mejor calidad, que les permitan convertirse en líderes dentro del sector que manejen. El monitoreo de los procesos industriales ha sido de vital importancia en la mejora de productos, para ello diversas estrategias como el control estadístico de procesos han desar- rollado herramientas que permitan hacer el monitoreo de una mejor manera. Las cartas de control son una herramienta gráfica que permite detectar anomalías ocurridas durante el proceso de producción. Sin embargo, dado que la característica de calidad puede estar en función de una o más covariables es necesario el desarrollo de nuevas técnicas que permitan capturar estas nuevas fuentes de variación. El desarrollo de la estadística de datos funcionales ha logrado un cambio en el análisis de datos, ya que permite el análisis conjunto de curvas y no simplemente datos como se hace usualmente. En el presente trabajo se hace una propuesta de cartas de control que permite moni- torear características de calidad cuando estas estén en función de una o más covariables, las cartas de control para datos funcionales. Este trabajo se desarrolla de la siguiente for- ma: En el primer capítulo se hace una introducción a las cartas de control, en el capítulo 2 se realiza una breve introducción al análisis de datos funcionales, en el capítulo 3 se realiza un caso de estudio para un conjunto de datos dado y finalmente el el capítulo 4 se muestran las conclusiones obtenidas a lo largo del trabajo. vi Capítulo 1 Cartas de control 1.1. Introducción Ante la creciente competitividad en los mercados y la exigencias por parte de los consumidores, las industrias han buscado nuevas formas de monitorear sus procesos de producción, a fin de mejorar la calidad de sus productos. En el área de estadística existe un conjunto de técnicas para el mejoramiento y con- trol de las lineas de producción industrial, conocida como control estadístico de procesos (CEP). Dentro del CEP existe una herramienta gráfica de gran utilidad usada para el monitoreo de procesos, las cartas de control. En el presente capítulo se dará una breve introducción a las cartas de control para monitorear procesos industriales. 1.2. Cartas de control Una carta de control es una herramienta estadística empleada para el estudio y con- trol de procesos a través del tiempo. El objetivo de las cartas de control es el observar y analizar mediante el uso de datos estadísticos la variabilidad del proceso de interés a través del tiempo, (Gutiérrez y De la Vara, 2004 [9]). Mediante el uso de las cartas de control se pretende identificar las principales fuentes de variación del proceso, las cuales se identifican como: Variabilidad debida a causas comunes: Variabilidad que aparece de manera 1 1.2 Cartas de control 1 Cartas de control natural en el proceso debida al azar e inherente a la calidad. Nada se puede hacer sobre este tipo de variabilidad. Variabilidad debida a causas especiales: Variabilidad originada por circunstan- cias o situaciones especiales ajenas al proceso. Este tipo de variabilidad a menudo puede ser identificada y eliminada del proceso La idea básica de una carta de control es que, mediante el cálculo de limites de control, podamos observar dónde varía el proceso a través del tiempo, graficando un estadístico, denotado por W, el cual mide la característica de interés en el proceso. Los elementos para construir una carta de control son: Linea central (LC): Esta linea representa el promedio de los valores de W. Los límites de control inferior (LCI) y superior (LCS): Estos límites definen el rango de variación del proceso, de tal manera que al estar el proceso bajo control estadístico, haya una alta probabilidad de que los valores de W se encuentren dentro de los límites de control. Cabe mencionar que estos límites de control no corresponden a los límites de especi- ficación, tolerancias o deseos del proceso. Estos son calculados a partir de la variación de los datos que se representan en la carta. La idea de su cálculo está en establecer los límites de forma que sea cubierto el mayor porcentaje de la variabilidad del proceso. Sin embargo, la elección de estos límites debe ser realizada con cuidado, ya que si se desea cubrir un alto porcentaje de variabilidad, los límites serán muy amplios. Esto dificultaría la detección de cambios; en cambio si el porcentaje es pequeño, los límites serán muy estrechos causando muchas señales en falso. Así, si algún valor de W cae fuera de los límites de control esto indicará un evento inusual en el proceso. En la figura 1.2.1 se presentan los elementos de la carta de control. 2 Cartas de control para datos funcionales 1.2 Cartas de control 1 Cartas de control La distinción entre los tipos de variación ayudará a caracterizar el funcionamiento del proceso, con el fin de decidir las acciones de control y mejora, para mantener el proceso bajo control estadístico. LCS LC LCI Figura 1.2.1: Elementos de una carta de control Decimos que un proceso está bajo control estadístico si la variación del mismo se mantiene dentro de un rango preestablecido y su distribución no cambia. De manera análoga decimos que el proceso está fuera de control estadístico si su variación se debe a una o varias causas específicas y por lo tanto su distribución cambia. Esto se puede observar en la gráfica 1.2.2. La manera más frecuente de encontrar estos límites es a partir de la relación entre la media y la desviación estándar de W. En el caso de que W siga una distribución normal con media µw y desviación estándar σw , se tiene que los límites están dados por µw − 3σw y µw +3σw , donde bajo control estadístico se ubica el 99.73 % de los posibles valores de W. En el caso de tener una distribución diferente a la normal, y se tenga una distribución unimodal y con forma parecida a la normal, entonces, se aplica la regla empírica o la 3 Cartas de control para datos funcionales 1.2 Cartas de control 1 Cartas de control Proceso fuera de control Proceso bajo control LCS LCS LC LC LCI LCI a) b) Figura 1.2.2: Control estadístico: a)Proceso fuera de control, b) Proceso bajo control extensión del teorema de Chebyshev, la cual esta dada por Teorema 1.2.1 (Desigualdad de Chebyshev) Sea µ = E(X) y σ 2 = V ar(X), en- 1 tonces P ( X − µ ≥ kσ) ≤ 2 . k ¯ y S que establece el porcentaje A partir de este resultado se obtiene una relación entre X ¯ − kS y X mínimo de datos que caen entre los límites X ¯ + kS. Las cartas de control que siguen esta metodología fueron propuestas por el doctor Walter A. Shewhart (1924), y sus límites de control están dados por LCI = µw − 3σw , LC = µw , LCS = µw + 3σw . (1.2.1) Este tipo de cartas son conocidas como cartas tipo Shewhart. Con ellas y bajo condi- ciones de control estadístico se tendrá alta probabilidad de que los valores de W caigan dentro de los límites definidos en (1.2.1). En el caso de que se tenga una distribución normal esta probabilidad será 0.9973. A menudo los parámetros de la distribución de W son desconocidos, por los cual deben ser estimados. Para ello se toma un conjunto de datos históricos, con los cuales se estiman 4 Cartas de control para datos funcionales 1.3 Riesgos del muestreo 1 Cartas de control los parámetros de la distribución de W. Una vez estimados estos valores se realiza un pro- ceso de depuración de la información hasta considerar el proceso bajo control estadístico. Este proceso se conoce como Fase I de la construcción de la carta de control. Durante la Fase II el proceso se muestrea en línea y los valores de W obtenidos son graficados en la carta de control. Generalmente se muestrea un número m de subgrupos, que oscilan entre 20 y 50 de tamaño 5. 1.3. Riesgos del muestreo Una vez construida la carta de control, mediante algún criterio se juzga si el proceso se encuentra o no bajo control. Por aleatoriedad del proceso se corre el riesgo de equivocarse y de que el proceso envíe señales falsas de estar fuera de control. Dado lo anterior se tienen dos tipos de riesgo que se pueden encontrar: Riesgo tipo I: Es el riesgo de que una muestra conduzca a tomar una decisión cuando no haya ocurrido un cambio en el proceso. Riesgo tipo II: El riesgo de que una muestra se encuentre dentro de los límites de control a pesar de que haya ocurrido un cambio en el proceso. De acuerdo con esto, nótese que a partir de las cartas de control es posible generar el siguiente juego de hipótesis: H0 : El proceso está bajo control v.s. H1 : El proceso está fuera de control (1.3.1) con lo cual se tiene una relación entre las cartas de control y las pruebas de hipótesis. 5 Cartas de control para datos funcionales 1.4 Tipos de cartas de control 1 Cartas de control 1.4. Tipos de cartas de control Existen dos grupos generales de cartas de control: para variables y para atributos. Las cartas de control para variables, se aplican al monitoreo de características de calidad del tipo continuo, las cuales requieren de un instrumento de medición (Peso, volumen, voltaje, etc.). Las cartas de control para variables más usuales son: ¯ X(Promedios) R (Rangos) S (Desviación estándar) X (Medidas individuales) T 2 (Multivariadas) Las cartas de control para atributos se aplican cuando el producto o el proceso no es medido y simplemente es juzgado como conforme o no conforme, dependiendo del número de defectos o no conformidades que tiene. Las principales cartas de control para atributos son: p (Proporción o fracción de artículos defectuosos) np (Número de unidades defectuosas) c (Número de defectos) u (Número de defectos por unidad) Además de las cartas mencionadas, existe una gran variedad de cartas de control, con las cuales se pretende detectar más rápido un cambio en el proceso y reducir la frecuencia de falsas alarmas. Entre estas cartas las más conocidas son las cartas EWMA y CUSUM. 6 Cartas de control para datos funcionales 1.4 Tipos de cartas de control 1 Cartas de control En el presente trabajo se hablará principalmente de las cartas para medidas individua- les, para mayor referencia acerca de las cartas de control consultar del libro de Gutiérrez y De la Vara et al, (2004). 1.4.1. Carta de medidas individuales Este tipo de cartas se usan para monitorear variables del tipo continuo en el caso que se trabaje con procesos lentos o costosos, en los cuales para obtener una muestra de la producción se requiere de periodos relativamente largos. La determinación de los límites de control en este caso no difiere del caso de las otras cartas de control, esto es, mediante la estimación de la media y desviación estándar del estadístico W que se esté usando. En este caso es directamente la observación individual obtenida del proceso, X. Entonces los límites quedan determinados por LCI = µX − 3σX , LC = µX , LCS = µX + 3σX , (1.4.1) donde µX y σX son la media y desviación estándar del proceso, respectivamente. La estimación de estos parámetros procede de la siguiente manera: ¯ ¯ y σX = R , µX = X (1.4.2) d2 ¯ es la media de las observaciones y R donde X ¯ corresponde a la media de los rangos móviles de orden dos, esto es, el rango entre dos observaciones sucesivas del proceso. Mientras la constante d2 está dada por d2 = E(R | Xi ∼ N(0, 1)) (1.4.3) donde R = m´ax{Xi } − m´ın{Xi }. Estas constantes usualmente vienen tabulados en los li- bros de control estadístico de procesos. La constante d2 depende del tamaño del subgrupo R y define la media del rango relativo q = ; en este caso se tiene que d2 = 1.128. σ De acuerdo con lo anterior se tiene que los limites de control para medidas individuales 7 Cartas de control para datos funcionales 1.4 Tipos de cartas de control 1 Cartas de control están dados por ¯ ¯ ¯ − 3 R , LC = X, LCI = X ¯ +3 R . ¯ LCS = X (1.4.4) 1.128 1.128 De manera gráfica esto se puede observar en la figura 1.4.1 Carta de control para medidas individuales LCS LC LCI Figura 1.4.1: Carta de control para medidas individuales Cuando se trabaja con este tipo de carta de control una manera de monitorear la variabilidad del proceso es usar una carta de rangos móviles de orden dos: Esto como complemento a la carta de control para medidas individuales, cuyos límites de control están dados por ¯ LCI = 0, LC = R, ¯ + 3σR . LCS = R (1.4.5) Aquí σR = d3 σ es una constante que depende del tamaño del subgrupo y corresponde a R la desviación estándar del rango relativo, q = , en este caso d3 = 0.853. Esta constante σ d3 viene tabulada en la mayoría de los libros de control estadístico de procesos. 8 Cartas de control para datos funcionales 1.4 Tipos de cartas de control 1 Cartas de control De acuerdo a lo anterior se tiene que LCI = 0, LC = R, ¯ + 3 d3 σ. ¯ LCS = R (1.4.6) d2 Esto se puede apreciar en la figura 1.4.2 Carta de control R LCS LC LCI Figura 1.4.2: Carta de control para rangos móviles En recientes estudios se ha demostrado que las cartas de control para medidas in- dividuales son bastante robustas tanto para detectar cambios en la media como en la dispersión del proceso. Cabe mencionar que las cartas de control para medidas individuales son una gran alternativa para el monitoreo de procesos lentos, sin embargo, el desvío de la distribución de las observaciones de la normal puede afectar los criterios de interpretación de la carta. 9 Cartas de control para datos funcionales 1.5 Longitud promedio de Corrida (ARL) 1 Cartas de control 1.5. Longitud promedio de Corrida (ARL) Una manera de comparar la eficiencia de las cartas de control es a partir de la longitud promedio de corrida (ARL por sus siglas en inglés). Longitud de corrida LCS LC LCI RL Figura 1.5.1: Longitud de corrida El ARL se define como el número promedio de puntos antes de que la carta de control dé una señal de fuera de control, sin que haya ocurrido algú
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