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Integración Numérica - Métodos del Trapezoide y Simpson En esta lección comenzamos el estudio de métodos numéricos para el cálculo numérico de integrales de la forma Un método común para aproximar I(f) es reemplazando f(x) con un polinomio de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de Cuadratura de Newton. Examinamos los primeros dos casos de este método donde se usan polinomios de interpolación lineales y cuadráticos. Método del trapezoide: Sea p1(x) el pol
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  Integración Numérica - Métodos del Trapezoide y Simpson  En esta lección comenzamos el estudio de métodos numéricos para el cálculo numérico de integrales de la forma Un método común para aproximar I(f) es reemplazando f(x) con un polinomio de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de Cuadratura de Newton . Examinamos los primeros dos casos de este método donde se usan polinomios de interpolación lineales y cuadráticos. Método del trapezoide : ea p ! (x) el polinomio lineal ue interpola a f(x) en x#a y x#$%i.e.% Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p ! (x) directamente se o$tiene ue &si ue podemos escri$ir la aproximación: (') ás adelante analizamos en detalles el error en esta aproximación. or el momento  $asta o$ser*ar ue la aproximación es $uena siempre ue f sea aproximadamente lineal.En el caso general% di*idimos el inter*alo +a%$, en su$inter*alos más pe ue-os y aplicamos la fórmula anterior en cada su$inter*alo. i los su$inter*alos son suficientemente pe ue-os% entonces f es aproximadamente lineal en cada su$inter*alo y la aproximación es $uena. efinimos el largo de los su$inter*alos por: El /0esimo su$inter*alo esta dado por +x  /0! %x  / , donde odemos escri$ir a1ora ue:  Usando la aproximación (') podemos escri$ir Usando esto en la fórmula anterior% o$tenemos ue Esto se conoce como la regla (compuesta) del trapezoide  para aproximar I(f). Ejemplo 1 : Usando la regla del trapezoide con n#2 y n#3 aproximamos: cuyo *alor exacto es correcto al número de cifras mostradas. ara n#2 tenemos ue 1#(20!)42#5.6% x 5 #!% x ! #!.6% x 2 #2. &1ora 7on n#3 tenemos 1#(20!)43#5.26% x 5 #!% x ! #!.26% x 2 #!.6% x 8 #!.96% x 2 #2% de modo ue Estos cálculos los podemos realizar tam$ién utilizando la función trapz  de &;&<. En el siguiente programa no solo calculamos los dos resultados de arri$a sino ue generamos una ta$la de errores (exactos) para *arios *alores de n apro*ec1ando ue en este e/emplo tenemos el *alor exacto del integral: iexacto=log(2);n=2;error1=0;for i=1:10x=linspace(1,2,n+1);y=1./x;  iaprox=trapz(x,y);error=iexacto-iaprox;ratio=error1/error;disp(!n=! n #2str(n) !, iaprox=! n #2str(iaprox,$) !,error=! n #2str(error,$) !,ratio=! n #2str(ratio,$)%)n=2&n;error1=error;end  ;os resultados fueron como sigue: n  n (f) e n #I(f)0  n (f) e n4  e 2n  2 0.0!   -0.01#1!$%   -----  3 0.$&0%'   -0.00 !$$   .&1 $  = 0.$&'1%%   -0.000&'$   .& !  !> 0.$& &1   -0.000%''0%%   .&&'1&  82 0.$& %0!   -0.0000$10%   .&&!#'  >3 0.$& 1$%   -0.00001#%#!   .&&&$  !2= 0.$& 1#1   - .!1'$e-00$   .&&&&1  26> 0.$& 1'!   -&.# $%e-00   .&&&&!  6!2 0.$& 1'   -%. !'1!e-00   .&&&&&  !523 0.$& 1'   -#.&$0'$e-00!   '.00000  Estos resultados confirman claramente la con*ergencia del método del trapezoide en este e/emplo particular. odemos *er ue cada *es ue se duplica la n% lo cual e ui*ale adi*idir la 1 entre dos% el error disminuye por un factor de cuatro aproximadamente (última columna de la ta$la) esto es caracter?stico de con*ergencia @(1 2 ) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante. (egla de Simpson : Utilizamos a1ora un polinomio de interpolación cuadrático. ea  p 2 (x) el polinomio de grado (a lo más) dos ue interpola a f(x) en x#a% x#(aA$)42% x#$. Este polinomio se puede escri$ir como: enemos a1ora ue  ero con 1#($0a)42 y u#x0a tenemos ue En forma similar se o$tiene ue enemos pues ue ('') &rgumentando en forma similar a en método del trapezoide% tenemos ue si n es un entero par (Bpor uéC) entonces Usando la fórmula ('') podemos aproximar &1ora Esta fórmula se conoce como la regla (compuesta) de Simpson  para aproximar a I(f). Ejemplo % : Usando la regla de impson con n#2 y n#3 aproximamos:
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