Investigación de Operaciones

Estadística

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CAPÍTULO 5 Modelo de transporte y sus variantes Aplicación de la vida real. Programación de citas en eventos comerciales australianos La Comisión de Turismo…
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CAPÍTULO 5 Modelo de transporte y sus variantes Aplicación de la vida real. Programación de citas en eventos comerciales australianos La Comisión de Turismo Australiana (ATC, por sus siglas en inglés) organiza eventos comerciales alrededor del mundo para que sirvan de foro donde se puedan reunir los vendedores australianos con los compradores internacionales de productos turísticos. Durante estos eventos los vendedores se sitúan en cubículos y los compradores los vi- sitan de acuerdo con citas programadas. Debido a la limitación de tiempo disponible en cada evento y al hecho de que la cantidad de compradores y vendedores puede ser muy grande, la ATC procura programar las citas entre vendedor y comprador con an- ticipación para maximizar las preferencias. El modelo ha resultado muy satisfactorio tanto para los compradores como para los vendedores. (El caso 3 del capítulo 26, en inglés, del sitio web contiene los detalles del estudio). 5.1 DEFINICIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE La red que aparece en la figura 5.1 representa el problema. Hay m orígenes y n desti- nos, cada uno representado por un nodo. Los arcos representan las rutas que unen los orígenes con los destinos. El arco (i, j) que une el origen i con el destino j transporta dos piezas de información: el costo de transporte por unidad, cij y la cantidad transpor- tada, xij. La cantidad de la oferta en el origen i es ai y la cantidad de la demanda en el destino j es bj. El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte total al mismo tiempo que se satisfacen las restricciones de la oferta y la demanda. Ejemplo 5.1-1 MG Auto cuenta con tres plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns, y dos importantes centros de distribución en Denver y Miami. Las capacidades trimestrales de las tres plantas son 1000, 1500 y 1200 automóviles, y las demandas de los dos centros de distribución durante el mismo periodo son de 2300 y 1400 automóviles. La distancia en millas entre las plantas y los cen- tros de distribución aparece en la tabla 5.1. 175 www.FreeLibros.com 176 Capítulo 5 Modelo de transporte y sus variantes Orígenes Destinos c11 : x11 a1 1 b1 1 Unidades Unidades a 2 2 b2 ofertadas 2 demandadas · · · · · · am n bn m cmn : xmn FIGURA 5.1 Representación del modelo de transporte con nodos y arcos TABLA 5.1 Gráfica de distancia en millas Denver Miami Los Ángeles 1000 2690 Detroit 1250 1350 Nueva Orleáns 1275 850 La compañía transportista cobra 8 centavos por milla por automóvil. En la tabla 5.2 se dan los costos de transporte por automóvil en las diferentes rutas, redondeados al dólar más cercano. El modelo de PL del problema es Minimizar z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 + 68x32 sujeto a x11 + x12 = 1000 (Los Ángeles) x21 + x22 = 1500 (Detroit) + x31 + x32 = 1200 (Nueva Orléans) x11 + x21 + x31 = 2300 (Denver) x12 + x22 + x32 = 1400 (Miami) xij Ú 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2 Todas estas restricciones son ecuaciones porque la oferta total desde los tres orígenes (5 1000 1 1500 1 1200 5 3700 automóviles) es igual a la demanda total en los dos destinos (5 2300 1 1400 5 3700 automóviles). TABLA 5.2 Costo de transporte por automóvil Denver (1) Miami (2) Los Ángeles (1) $80 $215 Detroit (2) $100 $108 Nueva Orleáns (3) $102 $68 www.FreeLibros.com 5.1 Definición del modelo de transporte 177 TABLA 5.3 Modelo de transporte de MG Denver Miami Oferta Los Ángeles 80 215 x11 x12 1000 Detroit 100 108 x21 x22 1500 Nueva Orleáns 102 68 x31 x32 1200 Demanda 2300 1400 La estructura especial del problema de transporte permite una representación compacta del problema utilizando el formato tabla de transporte que aparece en la tabla 5.3. Este formato permite modelar muchas situaciones que no tienen que ver con bienes de transporte, como se demuestra con los ejemplos de la sección 5.2. La solución óptima en la figura 5.2 (obtenida por TORA1) envía 1000 automóviles de Los Ángeles a Denver (x11 5 1000), 1300 de Detroit a Denver (x21 5 1300), 200 de Detroit a Miami (x22 5 200) y 1200 de Nueva Orleáns a Miami (x32 5 1000). El costo de transporte mínimo aso- ciado se calcula como 1000 3 $80 1 1300 3 $100 1 200 3 $108 1 1200 3 $68 5 $313.200. Balanceo del modelo de transporte. La representación de la tabla de transporte asume que el modelo está balanceado, es decir, que la demanda total es igual a la oferta total. Si el modelo está desbalanceado, podemos agregar un origen o un destino ficticios para restaurar el balance. Ejemplo 5.1-2 En el modelo de MG, suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1300 automóviles (en lugar de 1500). La oferta total (5 3500) es menor que la demanda total (5 3700), lo que sig- nifica que no se satisfará una parte de la demanda en Denver y Miami. Como la demanda excede la oferta, se agrega un origen (planta) ficticio con una capacidad de 200 automóviles (5 3700 2 3500) para balancear el modelo de transporte. El costo de trans- porte por unidad de la planta ficticia a los destinos es cero porque la planta no existe. 1000 1 1000 Los Ángeles 1 2300 1300 Denver 1500 2 200 Detroit 2 1400 1200 Miami 1200 3 FIGURA 5.2 Nueva Orleáns Solución óptima del modelo de MG Auto 1 Para utilizar TORA, en el comando Main Menu seleccione la opción Transportation Model . En el menú SOLVE/MODIFY seleccione las opciones Solve Q Final solution para obtener un resumen de la solución óptima. En la sección 5.3.3 se da una descripción detallada de la solución iterativa del modelo de transporte. www.FreeLibros.com 178 Capítulo 5 Modelo de transporte y sus variantes TABLA 5.4 Modelo de MG con una planta ficticia Denver Miami Oferta 80 215 Los Ángeles 1000 1000 100 108 Detroit 1300 1300 102 68 Nueva Orleáns 1200 1200 0 0 Planta ficticia 200 200 Demanda 2300 1400 TABLA 5.5 Modelo de MG con un destino ficticio Denver Miami Ficticio 80 215 0 Los Ángeles 1000 1000 100 108 0 Detroit 900 200 400 1500 102 68 0 Nueva Orleáns 1200 1200 Demanda 1900 1400 400 La tabla 5.4 da el modelo balanceado junto con su solución óptima. La solución muestra que la planta ficticia envía 200 automóviles a Miami, es decir que a Miami le faltarán 200 au- tomóviles para satisfacer su demanda de 1400 automóviles. Podemos estar seguros de que un destino específico no experimente escasez al asignar un costo de transporte por unidad muy alto desde el origen ficticio a dicho destino. Por ejemplo, una penalización de $1000 en la celda ficticia de Miami evitará que haya escasez en Miami. Desde luego, no podemos utilizar este “artificio” con todos los destinos, porque debe haber escasez en alguna parte. El caso en que la oferta excede la demanda se puede demostrar asumiendo que la demanda en Denver es de sólo 1900 automóviles. Entonces, tenemos que agregar un centro de distribución ficticio para que “reciba” la oferta excedente. De nuevo, el costo de transporte por unidad al cen- tro de distribución ficticio es cero, a menos que una fábrica “envíe todas sus existencias”. En este caso, se asigna un costo alto de transporte por unidad de la fábrica designada al destino ficticio. La tabla 5.5 da el nuevo modelo y su solución óptima (obtenida por TORA). La solución muestra que la planta de Detroit tendrá un excedente de 400 automóviles. www.FreeLibros.com 5.1 Definición del modelo de transporte 179 CONJUNTO DE PROBLEMAS 5.1A2 1. ¿Cierto o falso? (a) Para balancear un modelo de transporte, puede ser necesario agregar tanto un ori- gen como un destino ficticios. (b) Las cantidades enviadas a un destino ficticio representan un excedente en el origen que hace el envío. (c) Las cantidades enviadas por un origen ficticio representan faltantes en los destinos que reciben el envío. 2. En cada uno de los siguientes casos, determine si debe agregarse un origen ficticio o un destino ficticio para balancear el modelo. (a) Oferta: a1 = 10, a2 = 5, a3 = 4, a4 = 6 Demanda: b1 = 10, b2 = 5, b3 = 7, b4 = 9 (b) Oferta: a1 = 30, a2 = 44 Demanda: b1 = 25, b2 = 30, b3 = 10 3. En la tabla 5.4 del ejemplo 5.1-2, donde se agrega una planta ficticia, ¿qué significa la so- lución cuando la planta ficticia “envía” 150 automóviles a Denver y 50 a Miami? *4. En la tabla 5.5 del ejemplo 5.1-2, donde se agrega un destino ficticio, suponga que la planta de Detroit debe enviar toda su producción. ¿Cómo se puede implementar esta res- tricción en el modelo? 5. En el ejemplo 5.1-2, suponga que en el caso en que la demanda excede la oferta (tabla 5.4), se aplica una penalización a razón de $200 y $300 por cada automóvil no entregado en Denver y Miami, respectivamente. Además, no se hacen envíos de Los Ángeles al cen- tro de distribución de Miami. Elabore el modelo, y determine el programa de envíos ópti- mo para el problema. *6. Tres plantas de energía eléctrica de 25, 40 y 30 millones de kWh abastecen electricidad a tres ciudades. Las demandas máximas en las tres ciudades se estiman en 30, 35 y 25 millo- nes de kWh. El precio por millón de kWh en las tres ciudades se da en la tabla 5.6. Durante el mes de agosto la demanda se incrementa 20% en cada una de las tres ciuda- des, la cual puede satisfacerse adquiriendo electricidad de otra red a un precio más elevado de $1000 por millón de kWh. La red no está enlazada a la ciudad 3. La compañía eléctrica desea determinar el plan más económico para la distribución y compra de energía adicional. (a) Formule el problema como un modelo de transporte. (b) Determine un plan de distribución óptimo para la compañía eléctrica. (c) Determine el costo de la energía adicional adquirida por cada una de las tres ciudades. 7. Resuelva el problema 6, suponiendo que se pierde 10% de la energía que se transmite a través de la red. 8. Tres refinerías con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, abastecen a su vez a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones TABLA 5.6 Precio/millón de kWh para el problema 6 Ciudad 1 2 3 1 $600 $700 $400 Planta 2 $320 $300 $350 3 $500 $480 $450 2 En este conjunto puede utilizar TORA para determinar la solución óptima. Los modelos del problema de transporte obtenidos con AMPL y Solver se presentarán al final de la sección 5.3.2. www.FreeLibros.com 180 Capítulo 5 Modelo de transporte y sus variantes TABLA 5.7 Distancia en millas para el problema 8 Área de distribución 1 2 3 1 120 180 — Refinería 2 300 100 80 3 200 250 120 de galones, respectivamente. La gasolina se transporta a las tres áreas de distribución a través de una red de oleoductos. El costo de transporte es de 10 centavos por 1000 galo- nes por milla de oleoducto. La tabla 5.7 presenta la distancia en millas entre las refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada al área de distribución 3. (a) Construya el modelo de transporte asociado. (b) Determine el programa de envíos óptimo en la red. *9. En el problema 8, suponga que la capacidad de la refinería 3 es de sólo 6 millones de galo- nes y que el área de distribución debe recibir toda su demanda. Adicionalmente, las canti- dades faltantes en las áreas 2 y 3 incurrirán en una penalización de 5 centavos por galón. (a) Formule el problema como un modelo de transporte. (b) Determine el programa de envíos óptimo. 10. En el problema 8, suponga que la demanda diaria en el área 3 disminuye a 4 millones de galones. La producción excedente en las refinerías 1 y 2 se envía a otras áreas de distribu- ción por medio de camiones cisterna. El costo de transporte por 100 galones es de $1.50 desde la refinería 1 y de $2.20 desde la refinería 2. La refinería 3 puede enviar su produc- ción excedente a otros procesos químicos dentro de la planta. (a) Formule el problema como un modelo de transporte. (b) Determine el programa de envíos óptimo. 11. Tres huertas abastecen a cuatro detallistas con cajas de naranjas. La demanda diaria de los cuatro detallistas es de 150, 150, 400 y 100 cajas, respectivamente. Las ofertas en las tres huertas dependen de la mano de obra regular disponible y se estiman en 150, 200 y 250 cajas diarias. Sin embargo, las huertas 1 y 2 indicaron que podrían abastecer más cajas, si es necesario, recurriendo a mano de obra extra. La huerta 3 no ofrece esta opción. Los costos de transporte por caja de las huertas a los detallistas se dan en la tabla 5.8. (a) Formule el problema como un modelo de transporte. (b) Resuelva el problema. (c) ¿Cuántas cajas deben abastecer las huertas 1 y 2 si utilizan tiempo extra? 12. Tres centros de distribución envían automóviles a cinco concesionarios. El costo de envío depende de la distancia en millas entre los orígenes y los destinos, y es independiente de si el camión hace el viaje con cargas parciales o completas. La tabla 5.9 resume la distan- cia en millas entre los centros de distribución y los concesionarios junto con las cifras de TABLA 5.8 Costo de transporte/caja para el problema 11 Detallista 1 2 3 4 1 $1 $2 $3 $2 Huerta 2 $2 $4 $1 $2 3 $1 $3 $5 $3 www.FreeLibros.com 5.1 Definición del modelo de transporte 181 TABLA 5.9 Distancia en millas, y oferta y demanda para el problema 12 Concesionario 1 2 3 4 5 Oferta 1 100 150 200 140 35 400 Centro 2 50 70 60 65 80 200 3 40 90 100 150 130 150 Demanda 100 200 150 160 140 oferta y demanda mensuales dadas en número de automóviles. Una carga completa com- prende 18 automóviles. El costo de transporte por milla de camión es de $25. (a) Formule el modelo de transporte asociado. (b) Determine el programa de envíos óptimo. 13. MG Auto, del ejemplo 5.1-1, produce cuatro modelos de automóviles: M1, M2, M3 y M4. La planta de Detroit produce los modelos M1, M2 y M4. Los modelos M1 y M2 también se producen en Nueva Orleáns. La planta de Los Ángeles fabrica los modelos M3 y M4. Las capacidades de las plantas y las demandas en los centros de distribución aparecen en la tabla 5.10. La distancia en millas es la misma que la de la gráfica del ejemplo 5.1-1, y la tarifa de transporte se mantiene en 8 centavos por milla de camión para todos los modelos. Además, es posible satisfacer un porcentaje de la demanda de algunos modelos con la oferta de otros de acuerdo con las especificaciones de la tabla 5.11. (a) Formule el modelo de transporte correspondiente. (b) Determine el programa de envíos óptimo. (Sugerencia: Agregue cuatro nuevos destinos correspondientes a las nuevas combi- naciones [M1,M2], [M3,M4], [M1,M2] y [M2,M4]. Las demandas en los destinos nue- vos se determinan a partir de los porcentajes dados). TABLA 5.10 Capacidades y demandas para el problema 13 ModeloO M1 M2 M3 M4 Totales Planta Los Ángeles — — 700 300 1000 Detroit 500 600 — 400 1500 Nueva Orleáns 800 400 — — 1200 Centro de distribución Denver 700 500 500 600 2300 Miami 600 500 200 100 1400 TABLA 5.11 Modelos intercambiables para el problema 13 Centro de distribución Porcentaje de la demanda Modelos intercambiables Denver 10 M1, M2 20 M3, M4 Miami 10 M1, M2 5 M2, M4 www.FreeLibros.com 182 Capítulo 5 Modelo de transporte y sus variantes 5.2 MODELOS DE TRANSPORTE NO TRADICIONALES La aplicación del modelo de transporte no se limita al transporte de artículos. Esta sec- ción presenta dos aplicaciones no tradicionales en las áreas de control de producción e inventarios y el servicio de afilado de herramientas. Ejemplo 5.2-1 (Control de producción e inventarios) Boralis fabrica mochilas para ciclistas. La demanda de su producto durante el periodo pico de marzo a junio de cada año es de 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La compañía uti- liza mano de obra de tiempo parcial para acomodarse a las fluctuaciones de la demanda. Se estima que Boralis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio. La demanda del mes en curso se puede satisfacer de tres maneras. 1. La producción del mes en curso al costo de $40 por mochila. 2. La producción excedente de un mes anterior a un costo de retención adicional de $.50 por mochila. 3. La producción excedente en un mes posterior (pedido en espera) a un costo de penaliza- ción adicional de $2.00 por mochila por mes. Boralis desea determinar el programa de producción óptimo durante los cuatro meses. La siguiente tabla resume los paralelismos entre los elementos del problema de producción e inventario y el modelo de transporte: Transporte Producción-inventario 1. Origen i 1. Periodo de producción i 2. Destino j 2. Periodo de demanda j 3. Cantidad de abasto en el origen i 3. Capacidad de producción en el periodo i 4. Demanda en el destino j 4. Demanda en el periodo j 5. Costo de transporte por unidad 5. Costo unitario (producción 1 retención 1 del origen i al destino j penalización) en el periodo i para el periodo j. El modelo de transporte resultante se da en la tabla 5.12. TABLA 5.12 Modelo de transporte para el ejemplo 5.2-1 1 2 3 4 Capacidad 1 $40.00 $40.50 $41.00 $41.50 50 2 $42.00 $40.00 $40.50 $41.00 180 3 $44.00 $42.00 $40.00 $40.50 280 4 $46.00 $44.00 $42.00 $40.00 270 Demanda 100 200 180 300 www.FreeLibros.com 5.2 Modelos de transporte no tradicionales 183 Oferta 50 180 280 270 Periodo de oferta 1 2 3 4 50 50 130 70 180 30 270 Periodo de demanda 1 2 3 4 Demanda 100 200 180 300 FIGURA 5.3 Solución óptima del modelo de producción e inventario El costo de “transporte” por unidad del periodo i al periodo j se calcula como Costo de producción en i, i = j cij = c Costo de producción en i + costo de retención de i a j, i 6 j Costo de producción en i + penalización de i a j, i 7 j Por ejemplo, c11 = $40.00 c24 = $40.00 + ($.50 + $.50) = $41.00 c41 = $40.00 + ($2.00 + $2.00 + $2.00) = $46.00 La solución óptima se resume en la figura 5.3. Las líneas de rayas indican pedidos en espe- ra, las líneas punteadas indican producción para un periodo futuro, y las líneas continuas mues- tran la producción en un periodo en curso. El costo total es de $31,455. Ejemplo 5.2-2 (Afilado de herramientas) Arkansas Pacific opera un aserradero que produce tablas de diferentes tipos de madera. Según el tipo de madera que se esté aserrando, la demanda de hojas de sierra afiladas varía de un día a otro de acuerdo con los siguientes datos de una semana (7 días): Día Lun. Mar. Mié. Jue. Vie. Sáb. Dom. Demanda (hojas de sierra) 24 12 14 20 18 14 22 El aserradero puede satisfacer la demanda diaria de cuatro maneras: 1. Hojas nuevas a $12 cada una. 2. Servicio de afilado nocturno a $6 por hoja. 3. Servicio de afilado en un día a $5 por hoja. 4. Servicio de afiliado en dos días a $3 por hoja. La situación puede representarse como un modelo de transporte con ocho orígenes y siete destinos. Los destinos representan los 7 días de la semana. Los orígenes del modelo se definen www.FreeLibros.com 184 Capítulo 5 Modelo de transporte y sus variantes TABLA 5.13 Problema de afilado de herramientas, expresado como un modelo de transporte. 1 2 3 4 5 6 7 8 Lun. Mar. Mié. Jue. Vie. Sáb. Dom. Desecho $12 $12 $12 $12 $12 $12 $12 $0 1-Nuevas 24 12 88 124 M $6 $5 $3 $3 $3 $3 $0 2-Lun. 14 10 24 M M $6 $5 $3 $3 $3 $0 3-Mar. 12 12 M M M $6 $5 $3 $3 $0 4-Mié. 10 4 14 M M M M $6 $5 $3 $0 5-Jue. 2 18 20 M M M M M $6 $5 $0 6-Vie. 14 4 18 M M M M M M $6 $0 7-Sáb. 0 14 14 M M M M M M M $0 8-Dom. 22 22 24 12 14 20 18 14 22 124 como sigue: El origen 1 corresponde a la compra de hojas nuevas que, en el caso extremo, pue- den satisfacer la demanda de los siete días (5 24 1 12 1 14 1 20 1 18 1 14 1 22 5 124). Los orí- genes 2 a 8 corresponden a los 7 días de la semana. La cantidad de oferta de cada uno de estos orígenes es igual a la de hojas utilizadas al final del día asociado. Por ejemplo, el origen 2 (lunes) tendrá una oferta de hojas utilizadas igual a la demanda del lunes. El “costo de transporte” por unidad para el modelo es de $12, $6 o $3, según si la hoja es nueva o se afiló. La columna “de- secho” es un destino ficticio para balancear el modelo. El modelo completo y su solución se dan en la tabla 5.13. La siguiente tabla resume la solución óptima a un costo total de $818 (archivo toraEx5.2-2.txt). Cantidad de hojas afiladas (por día) Periodo Nuevas Nocturno 1-día 2-días Desecho Lun. 24 (Lun.) 0 14 (Mié.) 10 (Jue.) 0 Mar. 12 (Jue.) 0 0 12 (Vie.) 0 Mié. 0 10 (Jue.
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